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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 34

Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).

34 .     f x = sec ⁡ x x 2 ; a = π

Passo 1

Para calcular essa derivada, vamos usar a regra do quociente.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) -   g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Derivando:

f ' x = s e c x ' ⋅ x 2 -   x 2 ' ⋅ s e c x x 2 2

Lembrando que a derivada da secante é:

s e c x ' = s e c x ⋅ t g x

Continuando:

f ' x = s e c x ⋅ t g x ⋅ x 2 - 2 x ⋅ s e c x x 4

                      = x 2 s e c x ⋅ t g x - 2 x s e c x x 4

Passo 3

Agora vamos calcular f’(a) para a = π :

f ' x = x 2 s e c x ⋅ t g x - 2 x s e c x x 4

f ' ( π ) = π 2 sec ⁡ π ⋅ t g π - 2 π ⋅ s e c ⁡ ( π ) π 4

                        = π 2 ⋅ - 1 ⋅ 0 - 2 π ⋅ - 1 π 4

                        = 2 π π 4 = 2 π 3

Resposta

f ' π = 2 π 3

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Derive. y = c o s s e cθ( θ+c o t gθ )
Demonstre que d d x ( c o s s e cx ) =-c o s s e cxc o t gx .
Derive. f ( x ) = x e xc o s s e cx
Derive. y = x 2s e nxt gx
Demonstre que d d x ( c o t gx ) =- c o s s e c 2 x .