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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 7

Derive.

h ( θ ) = c o s s e c   θ   +   e θ   c o t g   θ

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

h ( θ ) = c o s s e c   θ   +   e θ   c o t g   θ

Para isso, a gente sabe que as derivadas da cossecante e da cotangente são dadas da seguinte forma:

cossec ⁡ u ' = - c o s s e c   u ⋅ c o t g   u

c o t g ' = cossec 2 ⁡ u

Além disso, a gente vai precisar aplicar a regra da soma e da regra do produto, que são dadas por:

u + v ' = u ' + v '

u v ' = u ' v + u v '

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Aplicando a regra da soma:

h ' ( θ ) = ( c o s s e c   θ ) '   +   ( e θ   c o t g   θ ) '

Derivando a cossecante, obtemos:

h ' ( θ ) = - c o s s e c   θ   c o t g   θ   +   ( e θ   c o t g   θ ) '

Passo 3

Usando a regra do produto para derivarmos outro termo, e lembrando que a derivada da exponencial é ela mesma, obtemos:

h ' ( θ ) = - c o s s e c   θ   c o t g   θ +   ( e θ ) '   c o t g   θ   +   e θ   ( c o t g   θ ) '

Assim, derivando a exponencial e a cotangente, ficamos com:

h ' θ =   - c o s s e c   θ   c o t g   θ + e θ   c o t g   θ   -   e θ   c o s s e c 2 θ

Resposta

h ' θ =   - c o s s e c   θ   c o t g   θ + e θ   c o t g   θ   -   e θ   c o s s e c 2 θ

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