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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 53

Nos Exercícios ∫ 0 1 2 x 2 + 1   d x , calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais. Mas primeiramente vamos usar o método da substituição

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 0 1 2 x 2 + 1   d x = 2 ∫ 0 1 x 2 + 1   d x

Fazendo a substituiçãotrigonométrica teremos que :

x = t g   u

d x = t g   u '   d u

d x = s e c 2   u   d u

Fazendo a transformação dos limites de x para limites de u, temos:

x = t g   u

0 = t g   u

u = 0

e:

x = t g   u

1 = t g   u

u = π 4

Substituindo:

2 ∫ 0 1 x 2 + 1   d x = 2 ∫ 0 π 4 1 + t g 2   u . s e c 2   u   d u

= 2 ∫ 0 π 4 s e c   u . s e c 2   u   d u

= 2 ∫ 0 π 4 s e c 3   u d u

Passo 3

Por último usamos a fórmula de redução:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

Inicialmente vamos resolver separadamente ∫ 0 π 4 s e c 3   u d u e como se fosse uma integral indefinida para facilitar os cálculos:

∫ s e c 3 u   d u = s e c 3 - 2 u .   t g   u ( 3 - 1 )   + 3 - 2 3 - 1 ∫ s e c 3 - 2 u d u

= s e c   u .   t g   u 2   + 1 2 ∫ s e c   u d u

Agora usaremos a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ s e c   x d x =   l n   s e c   x + t g   x

Substituindo:

= s e c   u .   t g   u 2   + 1 2   l n   s e c   u + t g   u

Aplicando a integral definida:

2 ∫ 0 π 4 s e c 3   u d u = 2 s e c   u .   t g   u 2   + 1 2   l n   s e c   u + t g   u 0 π 4

= 2 s e c   π 4 .   t g   π 4 2   + 1 2   l n   s e c   π 4 + t g   π 4 - 2 s e c   0 .   t g   0 2   + 1 2   l n   s e c   0 + t g   0

= 2 s e c   π 4 . 1 2   + 1 2   l n   2 + 1 - 2 1 2   l n   1

= 2 2 2   + 1 2   l n   2 + 1 - 0

= 2 . 2 2   + 2 . 1 2   l n   2 + 1

= 2   +   l n   2 + 1

Resposta

∫ 0 1 2 x 2 + 1 = 2   +   l n   2 + 1

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