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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 4

Calcule a integral indefinida.

int (x^2 d x)/(sqrt(x^2 + 6))

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(x^2 + 6) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(x^2 + 6)

t^2 = x^2 + 6

t^2 = x^2 + (sqrt(6))^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica tan theta = (x)/(sqrt(6))

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = sqrt(6) tan theta e também as mudanças necessárias.

x = sqrt(6) tan theta

d x = sqrt(6) sec^2 theta d theta

int ((sqrt(6) tan theta)^2 sqrt(6) sec^2 theta d theta)/((sqrt((sqrt(6) tan theta)^2 + 6)))

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

int (6 tan^2 theta sqrt(6) sec^2 theta d theta)/((sqrt((tan^2 theta + 1) 6)))

(cos^2 theta + sin^2 theta = 1) * (1)/(cos^2 theta)

1 + tan^2 theta = sec^2 theta

int (6 tan^2 theta sqrt(6) sec^2 theta d theta)/(sqrt(6) sec theta)

6 int tan^2 theta sec theta d theta

Passo 4

Usando a Identidade Trigonométrica novamente e sabendo que int sec^n x d x = (sin x sec^(n - 1) x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x temos

6 int (sec^2 theta - 1) sec theta d theta

6 int (sec^3 theta - sec theta) d theta

6 ((sin theta sec^2 theta)/(2) + (1)/(2) int sec theta d theta + int - sec theta d theta)

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente sec theta = (sqrt(x^2 + 6))/(sqrt(6)) , sin theta = (x)/(sqrt(x^2 + 6)) e tan theta = (x)/(sqrt(6)) .

3 sin theta sec^2 theta - 3 int sec theta d theta

3 sin theta sec^2 theta - 3 ln (|sec theta + tan theta|) + c

3 (x)/(sqrt(x^2 + 6)) ((sqrt(x^2 + 6))/(sqrt(6)))^2 - 3 ln (|(sqrt(x^2 + 6))/(sqrt(6)) + (x)/(sqrt(6))|) + c

3 (x sqrt(x^2 + 6))/(6) - 3 ln (|(sqrt(x^2 + 6) + x)/(sqrt(6))|) + c

(sqrt(x^2 + 6))/(2) - (3 ln (|sqrt(x^2 + 6) + x|) - 3 ln (|sqrt(6)|)) + c

(sqrt(x^2 + 6))/(2) - 3 ln (|sqrt(x^2 + 6) + x|) + 3 ln (|sqrt(6)|) + c

Resposta

(sqrt(x^2 + 6))/(2) - 3 ln (|sqrt(x^2 + 6) + x|) + 3 ln (|sqrt(6)|) + c

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