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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 2

Calcule a integral indefinida.

int (sqrt(4 - x^2))/(x^2) d x

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(4 - x^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(4 - x^2)

t^2 = 4 - x^2

t^2 + x^2 = 2^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin theta = (x)/(2)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 sin theta e também as mudanças necessárias.

x = 2 sin theta

d x = 2 cos theta d theta

int ((sqrt(4 - (2 sin theta)^2)) 2 cos theta d theta)/((2 sin theta)^2)

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

int ((sqrt(4 (1 - sin^2 theta))) 2 cos theta d theta)/(4 sin^2 theta)

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

int (2 cos theta * 2 cos theta d theta)/(4 sin^2 theta)

int (cos^2 theta)/(sin^2 theta)

int cot^2 theta d theta

Passo 4

Aplicando outra Identidade Trigonométrica temos

(cos^2 theta + sin^2 theta = 1) * (1)/(sin^2 theta)

cot^2 theta + 1 = csc^2 theta

int (csc^2 theta - 1) d theta

Passo 5

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot theta = (sqrt(4 - x^2))/(x) .

int (csc^2 theta - 1) d theta

- cot theta - theta + c

- ((sqrt(4 - x^2))/(x) + sin^(- 1) ((x)/(2))) + c

Resposta

- ((sqrt(4 - x^2))/(x) + sin^(- 1) ((x)/(2))) + c

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