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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 5

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x sqrt(25 - x^2))

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(25 - x^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(25 - x^2)

t^2 = 5^2 - x^2

t^2 + x^2 = 5^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin theta = (x)/(5)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 5 sin theta e também as mudanças necessárias.

x = 5 sin theta

d x = 5 cos theta d theta

int (5 cos theta d theta)/(5 sin theta (sqrt(2 5 - (5 sin theta)^2)))

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

int (5 cos theta d theta)/(5 sin theta (sqrt(25 (1 - sin^2 theta))))

cos^2 theta + sin^2 theta = 1

int (5 cos theta d theta)/(5 sin theta * 5 cos theta)

int (d theta)/(5 sin theta)

(1)/(5) int csc theta d theta

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot theta = (sqrt(25 - x^2))/(x) e csc theta = (5)/(x) .

(1)/(5) int csc theta

(1)/(5) ln (|csc theta - cot theta|) + c

(1)/(5) ln (|(5)/(x) - (sqrt(25 - x^2))/(x)|) + c

(1)/(5) ln (|(5 - sqrt(25 - x^2))/(x)|) + c

(1)/(5) (ln (|5 - sqrt(25 - x^2)|) - ln (|x|)) + c

Resposta

(1)/(5) (ln (|5 - sqrt(25 - x^2)|) - ln (|x|)) + c

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