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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 65

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

6 5 . ∫ 1 2 2 x 2 + x + 4 x 3 + 4 x 2 d x  

Passo 1

Podemos reescrever essa integral na forma:

∫ 1 2 2 x 2 + x + 4 x 2 ( x + 4 ) d x

Assim podemos ver claramente que iremos resolver essa integral por frações parciais através do método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

2 x 2 + x + 4 x 2 x + 4 = A x + B x 2 + C x + 4 =

= A x 2 + 4 A x + B x + 4 B + C x 2 x 2 ( x + 4 ) =   ( A + C ) x 2 + 4 A + B x + 4 B x 2 ( x + 4 )  

A + C = 2 ⇒ C = 2                                                           4 A + B = 1 ⇒ 4 A + 1 = 1 ⇒ A = 0 4 B = 4       ⇒ B = 1                                                                

Nossa integral fica:

∫ 1 2 1 x 2 + 2 x + 4 d x

Passo 3

Integrando:

∫ 1 2 1 x 2 + 2 x + 4 d x = ∫ 1 2 1 x 2   d x +     2 ∫ 1 2 1 x + 4   d x  

= - 1 x + 2 ln ⁡ x + 4   1 2 = - 1 2 + 1 + ( 2 ln ⁡ 6 - 2 ln ⁡ ( 5 ) )

= 1 2 + ( ln ⁡ 36 - ln ⁡ ( 25 ) ) =   1 2 + ln ⁡ 36 25

Resposta

∫ 1 2 2 x 2 + x + 4 x 3 + 4 x 2 d x = 1 2 + ln ⁡ 36 25

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