Questão: 44A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = cos ⁡ x e pelas retas y = 1 e x = π 2 , gira em torno da reta x = π 2 . Ache o volume do solido gerado.

V = 2 π ∫ ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x)d x = 2 π ( 1 8 π ² - 1 ) ² .

Enunciado

Entendendo o problema

Essa questão não é simples de responder, calcula-se essa equação usando ‘’volume de solido por involucro cilíndrico’’.
A rotação entorno de um eixo parábola y sendo que a função dada é em torno de x, se tentarmos por x em função de y resultara em que para calcular a integral não é fácil, certo? Mas o termo de’’ volume de solido por involucro cilíndrico’’ diz que :

Notou a diferença antes usávamos ; , não era ? generalista;

Não se assuste com essa expressão pois só coloquei ela para tentar explicar os termos dela;

, onde = valor médio do involucro

= altura do involucro e , espessura, agora olhando o gráfico veja que, a altura do involucro é:

e =f(x)

o raio é = , então :

Usando integração por partes temos;

F(x) = derivando f’(x) = -1

g’(x) = integrando g(x)=

Substituindo temos;

Aplicando os intervalo, temos;