Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 43
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por gira em torno do eixo .
Passo 1
Então galera, para o sólido em questão, temos que calcular a seguinte integral, se liga:
Simplificando:
Ok, estabelecemos uma integral para o cálculo do volume do sólido em questão. Como temos uma divisão de polinômios, a estratégia aqui será transformar o denominador em produto e utilizar frações parciais para simplificarmos nossa integral, beleza? Então bora lá!
Passo 2
Se dividirmos os polinômios, teremos:
Show, primeira simplificação foi feita! Agora note que o denominador é um termo quadrático e, de acordo com o que vimos na seção 5 do Anton, quando isso acontece temos que separar as frações da seguinte forma:
Multiplicando a nossa equação pelo denominador, teremos:
Simplificando, teremos:
Show, galera! Agora temos que abrir isso aí e encontrar as constantes!
Passo 3
Como é arbitrário, ou seja, podemos escolher qualquer valor que quisermos, vamos adotar e ver se encontramos algo:
Opa, encontramos uma constante! Agora vamos aplicar o valor , se liga:
Show, encontramos outra constante! Se substituirmos os valores encontrados, teremos:
Abrindo tudo isso, teremos:
Passo 4
Agora o que temos que fazer é resolver um sisteminhas com as incógnitas que queremos encontrar! Comparando o grau das variáveis, teremos:
Do sistema tiramos que:
Substituindo os valores na nossa fração, teremos:
Então a integral que teremos que resolver é:
Passo 5
Galera, separando em 5 integrais e resolvendo, teremos:
Aplicando os intervalos de integração, teremos:
E esse é o nosso resultado, pessoal! 😉