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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 35

35. int ( 2 c o t^2 theta - 3 t a n^2 theta ) d theta

Passo 1

Para conseguir prosseguir precisamos recordar de propriedades trigonométricas, são elas :

1 + c o t^2 theta = c s c^2 theta

Logo, encotramos uma substituição para “cot theta ”.

c o t^2 theta = c s c^2 theta - 1

Podemos encontrar uma substituição para “tan theta ”.

1 + t a n^2 theta = s e c^2 theta

t a n^2 theta = s e c^2 theta - 1

Fazendo as devidas substituições na integral proposta obtemos:

I = int [ 2 ( c s c^2 theta - 1 ) - 3 ( c s c^2 theta - 1 ) d theta

Aplicando a distributiva:

I = int [ ( 2 c s c^2 theta - 2 ) - ( 3 c s c^2 theta - 3 ) d theta

Passo 2

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = int 2 c s c^2 theta d theta - int 2 d theta - int 3 s e c^2 theta d theta - [ - int 3 d theta ]

Vamos então ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int a f ( u ) d x = a int (f ( u )) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 2 int ( csc^2 theta ) d theta - 2 int 1 d theta - 3 int s e c^2 theta d theta + 3 int 1 d theta

Podemos escrever esasa integral da seguinte forma:

I = 2 int ( csc^2 theta ) d theta - 2 int theta^0 d theta - 3 int s e c^2 theta d theta + 3 int theta^2 d theta

Passo 4

Agora que toda a integral tem uma forma conhecida podemos aplicar então o processo.

I = 2 int ( csc^2 theta ) d theta - 2 int theta^0 d theta - 3 int 3 c s c^2 theta d theta + 3 int theta^2 d theta

I = [- 2 c o t theta - 2 theta^(0 + 1) - 3 t a n theta + 3 theta^(0 + 1)] + c

I = - 2 c o t theta - 2 theta - 3 t a n theta + 3 theta + c

Resposta

Chegamos então ao resultado final:

I = - 2 c o t theta - 3 t a n theta + theta + c

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