Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

13) d d x ( s e c 2 x t g 2 x )

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d x s e c 2 x t a n 2 x + s e c 2 x d d x t g 2 x

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d x s e c 2 x

Fazemos a derivada da potência:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência, que é a função secante, e multiplicamos pela derivada dela:

2 s e c x d d x s e c x

E isso será:

2 s e c x t a n x s e c x = 2 t a n x s e c 2 x

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d x t a n 2 x

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro, que é a tangente:

2 t a n x d d x t a n x

Resolvendo a derivada na conta de cima:

2 t a n x s e c 2 x

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d x s e c 2 x t a n 2 x + s e c 2 x d d x t a n 2 x

2 t a n x s e c 2 x   .   t a n 2 x + s e c 2 x   .   2 t a n x s e c 2 x

Juntando os termos:

2 ( t a n 3 x s e c 2 x + t a n x s e c 4 x )

2 t a n x s e c 2 x ( t a n 2 x + s e c 2 x )

Resposta

f ' x = 2 t a n x s e c 2 x ( t a n 2 x + s e c 2 x )

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