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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 39

Nos exercícios de 33 a 44, calcule a integral definida.

39. ∫ π 6 π 3 3 d x 2 s e n   2 x + 1

Passo 1

Neste tipo de questão não há muito o que tirar de informação do enunciado, apenas utilizar as técnicas de integração desenvolvidas até o momento, utilizar também algumas substituições especiais vistas ao longo desta seção bem como relações matemáticas básicas.

Passo 2

Sendo assim, a integral dada pode ser calculada como:

∫ π 6 π 3 3 d x 2 s e n   2 x + 1

Fazendo a substituição z = t g   x   ,   t e m o s   q u e   s e n   2 x = 2 z 1 + z 2   e   q u e   2 d x = 2 d z 1 + z 2 .   Logo,   d x = d z 1 + z 2 .

Passo 3

Substituindo os valores acima na expressão da integral teremos:

∫ π 6 π 3 3 d x 2 s e n   2 x + 1 = ∫ 1 3   3 3 d z 1 + z 2 4 z 1 + z 2 + 1 = 3 ∫ 1 3   3 d z z 2 + 4 z + 1

= 3 ∫ 1 3   3 d z z + 2 2 - 3 = 3 2 l n x + 2 - 3 x + 2 + 3 1 3   3

= 3 2 [ ln ⁡ 1 3 + 1 - ln ⁡ 3 - 1 3 + 2 ]  

Aplicando a propriedade do log da diferença, vem:

= 3 2 ln ( ⁡ 1 3 + 1 3 - 1 3 + 2   ) = 3 2 ln ⁡ 3 + 2 2

Note que os limites de integração foram alterados, substituindos os limites de integração da integral da esquerda na expressão de z em função de x definida para resolução do problema.

Resposta

∫ π 6 π 3 3 d x 2 s e n   2 x + 1 = 3 2 ln ⁡ 3 + 2 2

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int (d x)/(sqrt(x^2 + x + 1 ))
int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x - 3 ))
int (d x)/(sqrt(x^2 + 3 x + 2 ))
int (d x)/(x sqrt(- x^2 + x + 2 ))
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sec ⁡ 4 x tan ⁡ 4 xd x