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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 26

int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x - 3 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x^2 + 2 x - 3 = x^2 + 2 x + 1 - 4 = (x + 1)^2 - 4

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta = sec^2 theta - 1

Seja

(x + 1) = 2 s e c theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x + 1))/(d x) = (d ( 2 s e c theta ))/(d x) ⟹ 2 secthetatgtheta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ 2 secthetatgtheta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x - 3 )) = int (d x)/(sqrt((x + 1)^2 - 4 )) = int (2 secthetatgtheta d theta)/(sqrt((2 s e c theta)^2 - 4 )) = int (2 secthetatgtheta d theta)/(sqrt(4 ( s e c^2 theta - 1 ) )) =

= int (2 secthetatgtheta d theta)/(sqrt(4 (t g^2 theta) )) = int s e c theta d theta = ln |s e c theta + t g theta|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln |s e c theta + t g theta| = ln |(x + 1)/(2) + (1)/(2) sqrt(x^2 + 2 x - 3)|

Resposta

int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x - 3 )) = ln |(x + 1)/(2) + (1)/(2) sqrt(x^2 + 2 x - 3)| + C

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