∫ d x x 2 + 2 x - 3  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x 2 + 2 x - 3 =   x 2 + 2 x + 1 - 4 = x + 1 2 - 4  

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Seja

x + 1 = 2 s e c θ

Derivando com relação a x a equação acima

d x + 1 d x = d ( 2 s e c θ ) d x ⟹ 2 secθtgθ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ 2 secθtgθ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 2 + 2 x - 3   =   ∫ d x x + 1 2 - 4       = ∫ 2 secθtgθ ⁡ d θ 2 s e c θ 2 - 4       = ∫ 2 secθtgθ ⁡ d θ 4 ( s e c 2 θ - 1 )       =

= ∫ 2 secθtgθ ⁡ d θ 4 t g 2 θ     = ∫ s e c θ d θ = ln ⁡ s e c   θ + t g   θ  

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln ⁡ s e c   θ + t g   θ   = ⁡ ln ⁡ x + 1 2 + 1 2 x 2 + 2 x - 3  

Resposta

∫ d x x 2 + 2 x - 3   = ⁡ ln ⁡ x + 1 2 + 1 2 x 2 + 2 x - 3   + C

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