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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 20

int (d x)/(sqrt(x^2 + x + 1 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x^2 + x + 1 = x^2 + x + (1)/(4) + (3)/(4) = (x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Seja

(x + (1)/(2)) = (sqrt(3))/(2) t g theta , theta ϵ [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ]

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x + (1)/(2)))/(d x) = (d ( (sqrt(3))/(2) t g theta ))/(d x) ⟹ (sqrt(3))/(2) sec^2 theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ (sqrt(3))/(2) sec^2 theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(x^2 + x + 1 )) = int (d x)/(sqrt((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4) )) = int ((sqrt(3))/(2) sec^2 theta d theta)/(sqrt(((sqrt(3))/(2) t g theta)^2 + (3)/(4) )) = int ((sqrt(3))/(2) sec^2 theta d theta)/(sqrt((3)/(4) ( t g^2 theta + 1 ) ))

int ((sqrt(3))/(2) sec^2 theta d theta)/(sqrt((3)/(4) ( s e c^2 theta ) )) = int s e c theta d theta = ln |s e c theta + t g theta|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln |s e c theta + t g theta| = ln | (2 x + 1)/(sqrt(3)) + sqrt(((2 x + 1)^2)/(3) + 1) |

Resposta

int (d x)/(sqrt(x^2 + x + 1 )) = ln | (2 x + 1)/(sqrt(3)) + sqrt(((2 x + 1)^2)/(3) + 1) | + C

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