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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 25

int (d x)/(sqrt(x^2 + 3 x + 2 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x^2 + 3 x + 2 = x^2 + 3 x + (9)/(4) - (1)/(4) = (x + (3)/(2))^2 - (1)/(4)

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta = sec^2 theta - 1

Seja

(x + (3)/(2)) = (1)/(2) s e c theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x + (3)/(2)))/(d x) = (d ( (1)/(2) s e c theta ))/(d x) ⟹ (1)/(2) sec theta tg theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ (1)/(2) secthetatgtheta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(x^2 + 3 x + 2 )) = int (d x)/(sqrt((x + (3)/(2))^2 - (1)/(4) )) = int ((1)/(2) secthetatgtheta d theta)/(sqrt(((1)/(2) s e c theta)^2 - (1)/(4) )) = int ((1)/(2) secthetatgtheta d theta)/(sqrt((1)/(4) ( s e c^2 theta - 1 ) )) =

= int ((1)/(2) secthetatgtheta d theta)/(sqrt((1)/(4) (t g^2 theta) )) = int s e c theta d theta = ln |s e c theta + t g theta|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln |s e c theta + t g theta| = ln |2 x + 3 + 2 sqrt(x^2 + 3 x + 2)|

Resposta

int (d x)/(sqrt(x^2 + 3 x + 2 )) = ln |2 x + 3 + 2 sqrt(x^2 + 3 x + 2)| + C

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