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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 21

int (d x)/(x sqrt(- x^2 + x + 2 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

- x^2 + x + 2 = (9)/(4) - (x - (1)/(2))^2

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

s e n^2 theta = 1 - cos^2 theta

Seja

(x - (1)/(2)) = (3)/(2) s e n theta , theta ϵ [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ]

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x - (1)/(2)))/(d x) = (d ( (3)/(2) s e n theta ))/(d x) ⟹ (3)/(2) cos theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ (3)/(2) cos theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(x sqrt(- x^2 + x + 2 )) = int (d x)/(( x ) sqrt((9)/(4) - (x - (1)/(2))^2 )) = int ((3)/(2) costheta d theta)/(( (3)/(2) s e n theta + (1)/(2) ) sqrt((9)/(4) - ((3)/(2) s e n theta)^2 )) =

= int ((3)/(2) costheta d theta)/(( (3)/(2) s e n theta + (1)/(2) ) sqrt((9)/(4) - ((3)/(2) s e n theta)^2 )) = = int (2 d theta)/(3 s e n theta + 1) = int (2 d theta)/((3 (2 t g ( (theta)/(2) )))/(1 + t g^2 ((theta)/(2))) + 1)

Seja

t g ((theta)/(2)) = t

Derivando em relação a theta

(d (t g ((theta)/(2))))/(d theta) = (d t)/(d theta) = (1)/(2) sec^2 ((theta)/(2)) = (1)/(2) (1 + t^2) => d theta = (2 d t)/(1 + t^2)

Substituindo novamente na nossa integral e depois fazendo t = t g ( (theta)/(2) )

= 2 int (d theta)/((3 (2 t g ( (theta)/(2) )))/(1 + t g^2 ((theta)/(2))) + 1) = 2 int ((1 + t^2))/(6 t + 1 + t^2) (2 d t)/(1 + t^2) = 4 int (1)/(6 t + 1 + t^2) d t =

= 4 int (1)/(6 t + 1 + t^2) d t = 4 int (1)/((t + 3)^2 - 8) d t

Seja t + 3 = w ⟹ d w = d t

4 int (1)/((w)^2 - 8) d w = - (1)/(2) int (1)/(1 - (w^2)/(8)) d w

Seja v = (w)/(2 sqrt(2)) ⟹ d v = (1)/(2 sqrt(2)) d w

- (1)/(2) int (1)/(1 - (w^2)/(8)) d w = - sqrt(2) int (1)/(1 - v^2) d v = - sqrt(2) (a r c t g h v)

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

- sqrt(2) a r c t g h (v) = - sqrt(2) a r c t g h ((w)/(2 sqrt(2))) = - sqrt(2) a r c t g h ((t + 3)/(2 sqrt(2))) = - sqrt(2) a r c t g h ((t g ((theta)/(2)) + 3)/(2 sqrt(2)))

Mas seja (x - (1)/(2)) = u , entao s e n theta = (2 u)/(3) , cos^2 (theta)/(2) = (1)/(2) ( c o s theta + 1 )

t g ((theta)/(2)) = ((1)/(2) (s e n theta))/(cos^2 (theta)/(2)) = ((1)/(2) ((2 u)/(3)))/((1)/(2) (sqrt(1 - (4)/(9) u^2) - 1)) = (2 u)/(sqrt(9 - 4 u^2) + 3)

- sqrt(2) a r c t g h (((2 u)/(sqrt(9 - 4 u^2) + 3) + 3)/(2 sqrt(2))) = - sqrt(2) a r c t g h ((3 sqrt(9 - 4 u^2) + 2 u + 9)/(2 sqrt(2) ( sqrt(9 - 4 u^2) + 3 ))) =

= - sqrt(2) a r c t g h ((3 sqrt(- x^2 + x + 2) + x + 4)/(sqrt(2) ( 2 sqrt(- x^2 + x + 2) + 3 ))) =

= (ln x - l n ( 2 sqrt(2) sqrt(- x^2 + x + 2) + x + 4 ))/(sqrt(2))

Resposta

int (d x)/(x sqrt(- x^2 + x + 2 )) = (ln x - l n ( 2 sqrt(2) sqrt(- x^2 + x + 2) + x + 4 ))/(sqrt(2)) + C

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