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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 18

Nos Exercícios 13-20, calcule a integral dupla sobre a região R dada

∬ R   x y e x y 2 d A , R : 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O exercício propõe para você calcular a integral dupla sobre a região R .

∬ R   x y e x y 2  dA onde  R : 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ 1

Tudo pronto para começar? Vamos lá?

Passo 2

Primeiro passo é escolher a ordem de integração primeiro em y e depois em relação a x :

I   = ∬ R     x y e x y 2 d A = ∫ 0 2     ∫ 0 1     x y e x y 2 d y d x I   = ∫ 0 2     1 2 e x y 2 0 1 d x

Passo 3

Repare que na integração anterior foi utilizada a troca:

u = e x y 2 d u = 2 e x y 2

Passo 4

Dessa forma, voltando em I = ∫ 0 2   1 2 e x y 2 0 1 d x , teremos:

I   = ∫ 0 2     1 2 e x y 2 0 1 d x = 1 2 ∫ 0 2     e x - ( 1 ) d x I   = 1 2 e x - x 0 2 = 1 2 e 2 - 2 - ( 1 ) I   = 1 2 e 2 - 3

Resposta

Assim, a integral dupla é igual a:

I = 1 2 e 2 - 3

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