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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 15

Nos Exercícios 13-20, calcule a integral dupla sobre a região R dada

∬ R   x y c o s ⁡ y d A ,   R :   - 1 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ π

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos resolver ∬ R   x y c o s ⁡ y d A dA onde R é a região delimitada por:

- 1 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ π

Iremos escolher a ordem de integração dydx. Vamos lá?

Passo 2

Para isso, basta resolveremos como:

I = ∫ - 1 1   ∫ 0 π   x y c o s ⁡ y d y d x = ∫ - 1 1   x ∫ 0 π     y c o s ⁡ y d y d x

Passo 3

Observe que a integral interna é dada por ∫ 0 π   y c o s ⁡ y d y . Para isso, iremos aplicar a técnica de integração por partes:

  ∫   u d v = u v - ∫   v d u u = y d u = d y d v = c o s ⁡ y v = s e n ⁡ y

Então:

∫   y c o s ⁡ y d y = y s e n ⁡ y - ∫   s e n ⁡ y d y

∫   y c o s ⁡ y d y = y s e n ⁡ y + c o s ⁡ y

Passo 4

Efetuando os extremos, teremos:

  ∫ 0 π     y c o s ⁡ y d y = [ y s e n ⁡ y - c o s ⁡ y ] 0 π   ∫ 0 π     y c o s ⁡ y d y = ( 0 + 1 ) - ( 1 ) = 0

Resposta

Portanto, concluímos que: I = ∫ - 1 1   ∫ 0 π   x y c o s ⁡ y d y d x = ∫ - 1 1   x [ 0 ] d x = 0

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