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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 20

Nos Exercícios 13-20, calcule a integral dupla sobre a região R dada

∬ R   y x 2 y 2 + 1 d A , R : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos calcular a integral:

∬ R   y x 2 y 2 + 1 d A

Sobre a região R definida por:

0 ≤ x ≤ 1   0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Sendo assim, considere a integral:

∫ 0 1   ∫ 0 1   y x 2 y 2 + 1 d x d y

E integrando em x encontramos:

∫ 0 1   [ a r c t g ⁡ ( x y ) ] 0 d x

Substituindo os limites de integração em x teremos:

∫ 0 1   a r c t g ⁡ ( y ) d y

Passo 3

E agora integrando em y :

y a r c t g ⁡ ( y ) - 1 2 l n ⁡ 1 + y 2 ∣ 0 1

Substituindo os limites de integração em y:

π 4 - 1 2 l n ⁡ ( 2 )

Resposta

Portanto, o resultado da integral é: π 4 - 1 2 l n ⁡ ( 2 ) .

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