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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 30

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

30 . ∫ w - a w   d w     a > 0

Passo 1

Para resolvermos essa integral vamos aplicar uma substituição que vai nos facilitar:

u = w - a ⇒ u 2 = w - a ⇒ w = u 2 + a

d u = 1 2 w - a d w ⇒ d u = 1 2 u d w ⇒ d w = 2 u   d u

Passo 2

Aplicando a substituição em nossa integral, ficamos com:

∫ u ⋅ 2 u u 2 + a d u = ∫ 2 u 2 u 2 + a d u = 2 ∫ u 2 u 2 + a   d u

Passo 3

Para continuarmos, vamos mexer um pouco na função que está sendo integrada.

u 2 u 2 + a = 1 - a u 2 + a

Com essa manipulação, nossa vida fica um pouco mais fácil.

Passo 4

Nossa integral toma a forma:

2 ∫ u 2 u 2 + a   d u = 2 ∫ 1 - a u 2 + a d u

= 2 ∫ d u - ∫ a u 2 + a d u

= 2 u - a ∫ 1 u 2 + a d u

Passo 5

Para prosseguirmos vamos lembrar antes que:

∫ d s s 2 + b 2 = 1 b a r c t g s b

Agora, só aplicar isso a integral.

Passo 6

Continuando:

2 u - a ∫ 1 u 2 + a d u = 2 u - 2 a ∫ 1 u 2 + a d u

= 2 u - 2 a 1 a a r c t g u a

= 2 u - 2 a a a r c t g u a

Passo 7

Para deixar nosso resultado mais bonito, vamos racionalizar o termo que multiplica o arctg. Multiplicando encima e embaixo por a .

2 a a = 2 a a a = 2 a

Passo 8

Logo:

2 ∫ u 2 u 2 + a   d u = 2 u - 2 a ⋅ a r c t g u a

Passo 9

Agora revertendo a substituição feita para obter o resultado na variável que desejamos.

u = w - a

2 w - a - 2 a ⋅ a r c t g w - a a

Resposta

∫ w - a w = 2 w - a - 2 a ⋅ a r c t g w - a a + c

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