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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 75

Calcule a integral definida, se ela existir.

int s e n (x) * s e n (2 x) * s e n (3 x) d x

Passo 1

Para conseguir resolver a integral de forma mais simples devemos lembrar da seguinte relação

cos (a - b) = cos (a) * cos (b) + s e n (a) * s e n (b) ( i )

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - s e n (a) * s e n (b) ( i i )

Subtraindo ambas as equações obtemos

(cos (a - b) - cos (a + b))/(2) = s e n (a) * s e n (b)

Assim, podemos reescrever nossa integral como sendo

int s e n (x) * (1)/(2) * (cos (2 x - 3 x) - cos (2 x + 3 x)) d x =

(1)/(2) * int s e n (x) * cos (x) d x - (1)/(2) * int s e n (x) * cos (5 x) d x =

(1)/(2) * int (s e n (2 x))/(2) d x - (1)/(2) * int s e n (x) * cos (5 x) d x =

Para a segunda integral devemos lembrar da seguinte relação

s e n (a + b) = s e n (a) * cos (b) + s e n (b) * cos (a)

s e n (a - b) = s e n (a) * cos (b) - s e n (b) * cos (a)

Somando ambas equações encontramos

([s e n (a + b) + s e n (a - b)])/(2) = s e n (a) * cos (b)

Reescrevendo, agora, as equações vamos obter

(1)/(2) * int (s e n (2 x))/(2) d x - (1)/(2) * int (1)/(2) * [ s e n (x + 5 x) + s e n (x - 5 x) ] d x

Passo 2

Com a integral escrita da forma como está escrita ficou bem simples de resolver nosso problema

(1)/(2) * int (s e n (2 x))/(2) d x = - (1)/(4) * ([cos (2 x)])/(2) + C = - (cos (2 x))/(8) + C

(1)/(2) * int (1)/(2) * [s e n (x + 5 x) + s e n (x - 5 x)] d x = - (1)/(4) * ([cos (6 x)])/(6) + (1)/(4) * (cos (4 x))/(4) + C

Por fim, juntando tudo na expressão inicial vamos ter

(1)/(2) * int (s e n (2 x))/(2) d x - (1)/(2) * int (1)/(2) * [s e n (x + 5 x) + s e n (x - 5 x)] d x =

- (cos (2 x))/(8) + ([cos (6 x)])/(24) - (cos (4 x))/(16) + C

E está finalizado nosso problema.

Resposta

- (cos (2 x))/(8) + ([cos (6 x)])/(24) - (cos (4 x))/(16) + C

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