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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 38

Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equivalentes.

∫ c o s e e c 5 x   d x

Passo 1

Usando o site Wolframalpha, nós obtemos a seguinte resposta para essa integral:

∫ c o s e e c 5 x   d x = - 3 32 csc 2 ⁡ x 2 - 1 64 csc 4 ⁡ x 2 - 3 8 ln ⁡ cos ⁡ x 2 + 3 8 ln ⁡ s e n x 2 + 3 32 sec 2 ⁡ x 2 + 1 64 sec 4 ⁡ x 2

Vamos trabalhar algebricamente essa expressão?

∫ csc 5 ⁡ x   d x = 3 8 ( ln ⁡ s e n x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x 2 + 3 32 sec 2 ⁡ x 2 - csc 2 ⁡ x 2 + 1 64 sec 4 ⁡ x 2 - csc 4 ⁡ x 2

∫ csc 5 ⁡ x   d x = 3 8 ln ⁡ s e n x 2 cos ⁡ x 2 + 3 32 1 cos 2 ⁡ x 2 - 1 s e n 2 x 2 + 1 64 1 cos 4 ⁡ x 2 - 1 s e n 4 x 2

∫ csc 5 ⁡ x   d x = 3 8 ln ⁡ t g x 2 + 3 32 s e n 2 x 2 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 s e n 2 x 2 + 1 64 s e n 4 x 2 - cos 4 ⁡ x 2 cos 4 ⁡ x 2 s e n 4 x 2

Passo 2

Vamos usar umas identidades trigonométricas para simplificar nosso resultado. Usando a identidade para arco metade, vamos reescrever t g x 2 . Assim,

t g x 2 = 1 - cos ⁡ x s e n x

Logo,

ln ⁡ t g x 2 = ln ⁡ 1 - c o s x s e n x = ln ⁡ 1 s e n x - c o s x s e n x = ln ⁡ c s c x - c o t g x

Agora para s e n 2 x 2 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 s e n 2 x 2 , temos o seguinte:

s e n 2 x 2 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 s e n 2 x 2 = 1 - c o s x 2 - 1 + c o s x 2 1 + c o s x 2 ⋅ 1 - c o s x 2 = - 2 c o s x 2 1 - cos 2 ⁡ x 2 = - 4 c o s x s e n 2 x

Por fim, para s e n 4 x 2 - cos 4 ⁡ x 2 cos 4 ⁡ x 2 s e n 4 x 2 , temos:

s e n 4 x 2 - cos 4 ⁡ x 2 cos 4 ⁡ x 2 s e n 4 x 2 = s e n 2 x 2 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 s e n 2 x 2 s e n 2 x 2 + cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 s e n 2 x 2 = - 4 c o s x s e n 2 x ⋅ 1 1 + c o s x x ⋅ 1 - c o s x 2 = - 4 c o s x s e n 2 x ⋅ 4 1 - cos 2 ⁡ x = - 16 c o s x s e n 4 x

Passo 3

Reescrevendo a resposta final da integral:

∫ csc 5 ⁡ x   d x = 3 8 l n ⁡ ( c s c x - c o t g x ) + 3 32 - 4 c o s x s e n 2 x + 1 64 - 16 c o s x s e n 4 x

∫ csc 5 ⁡ x   d x = 3 8 ln ⁡ c s c x - c o t g x - 3 8 c o s x s e n 2 x - 1 4 c o s x s e n 4 x

Passo 4

Usando a tabela de integrais, temos que a integral da questão é igual a:

∫ c o s s e c 5 x   d x = - 1 4 c o t g x   c o s s e c 3 x + 3 4 ∫ c o s s e s c 3 x   d x

∫ c o s s e c 5 x   d x = - 1 4 c o s x s e n x 1 s e n 3 x + 3 4 - 1 2 c o t g x   c o s s e s c x + 1 2 ∫ c o s s e s c x   d x

∫ c o s s e c 5 x   d x = = - 1 4 c o s x s e n 4 x - 3 8 c o s x s e n x 1 s e n x + 3 8 ∫ c o s s e c x   d x

∫ c o s s e c x   d x = - 1 4 c o s x s e n 4 x - 3 8 c o s x s e n 2 x + 3 8 ln ⁡ c o s s e c x - c o t g x + C

Mostrando aqui que as duas respostas são equivalentes!  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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