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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 4

Calcule a integral,

int_0^1 x^3 sqrt(1 - x^2) d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui deveremos encontrar a resolução dessa integral e para isso iremos buscar uma substituição apropriada.

Vamos encontrar primeiro a indefinida, ok? Ou seja,

int x^3 sqrt(1 - x^2) d x

Passo 2

Vamos fazer a substituição

u = x^2 d u = 2 x d x

Sendo assim,

int x^3 sqrt(1 - x^2) d x

= int sqrt(1 - u) u (d u)/(2)

= (1)/(2) int sqrt(1 - u) u d u

Passo 3

Nosso problema ainda não foi resolvido né? Vamos fazer uma nova substituição

v = 1 - u d v = - d u

Daí,

(1)/(2) int sqrt(1 - u^2) u d u

= (1)/(2) int v^((1)/(2)) * (1 - v) (- d v)

= (1)/(2) (int v^((3)/(2)) d v - int v^((1)/(2)) d v)

Pela tabela,

(1)/(2) (int v^((3)/(2)) d v - int v^((1)/(2)) d v)

= (1)/(2) ((2)/(5) v^((5)/(2)) - (2)/(3) v^((3)/(2))) + K

= (1)/(5) v^((5)/(2)) - (1)/(3) v^((3)/(2)) + K

Como v = 1 - u

(1)/(5) v^((5)/(2)) - (1)/(3) v^((3)/(2)) + K

= (1)/(5) ( 1 - u )^((5)/(2)) - (1)/(3) ( 1 - u )^((3)/(2)) + K

Mas, u = x^2

(1)/(5) (1 - u)^((5)/(2)) - (1)/(3) (1 - u)^((3)/(2)) + K

= (1)/(5) ( 1 - x^2 )^((5)/(2)) - (1)/(3) ( 1 - x^2 )^((3)/(2)) + K

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração,

int_0^1 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = [(1)/(5) (1 - x^2)^((5)/(2)) - (1)/(3) (1 - x^2)^((3)/(2)) + K]_0^1

= (0 - 0) - ((1)/(5) - (1)/(3))

int_0^1 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = (2)/(15)

Resposta

int_0^1 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = (2)/(15)

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