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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 24

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

24 .   ∫ 4 x 2 + x - 2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Passo 1

Na resolução dessa integral teremos que usar o método de frações parciais, mas antes disso temos que tratar esse denomimador para que ele fique de uma forma agradável

Passo 2

Temos o seguinte:

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Se repararmos x = 1 é uma raiz dessa expreção então podemos fatorar x - 1 dela e ficamos com:

x - 1 x 2 - 4 x + 4 = x - 1 x - 2 2

Assim:

4 x 2 + x - 2 x - 1 x - 2 2

Passo 3

Agora podemos abrir a expressão que obtemos por frações parciais.

4 x 2 + x - 2 x - 1 x - 2 2 = A x - 1 + B x - 2 + C x - 2 2 = A x - 2 2 + B x - 1 x - 2 + C x - 1 x - 1 x - 2 2

= A x 2 - 4 A x + 4 A + B x 2 - 2 B x - B x + 2 B + C x - C x - 1 x - 2 2

= A + B x 2 + - 4 A - 3 B + C x + 4 A + 2 B - C x - 1 x - 2 2

A + B = 4 ⇒ B = 4 - A

- 4 A - 3 B + C = 1 ⇒ - 4 A - 12 + 3 A + C = 1 ⇒ C = A + 13

4 A + 2 B - C = - 2 ⇒ 4 A + 8 - 2 A - A - 13 = - 2 ⇒ A = 3

Se A = 3 :

B = 4 - A = 4 - 3 ⇒ B = 1

C = A + 13 = 3 + 13 ⇒ C = 16

Passo 4

Logo nossa expressão inicial toma a seguinte forma:

4 x 2 + x - 2 x - 1 x - 2 2 = 3 x - 1 + 1 x - 2 + 16 x - 2 2

E nossa integral fica

∫ 4 x 2 + x - 2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = ∫ 3 x - 1 + 1 x - 2 + 16 x - 2 2 d x

Passo 5

Resolvendo a integral:

∫ 3 x - 1 + 1 x - 2 + 16 x - 2 2 d x = ∫ 3 x - 1 d x + ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 16 x - 2 2 d x

Vamos resolver cada integral separadamente e depois juntamos tudo:

∫ 3 x - 1 d x = 3 ln ⁡ ( x - 1 )

∫ 1 x - 2 d x = ln ⁡ ( x - 2 )

∫ 16 x - 2 2 d x

Fazendo:

u = x - 2     e     d u = d x

Nossa integral toma a forma:

∫ 16 x - 2 2 d x = ∫ 16 u 2 d u

= 16 - 1 u

Voltando para a variável original temos:

∫ 16 x - 2 2 d x = 16 - 1 x - 2

Passo 6

Agora juntando todos os resultados temos:

∫ 3 x - 1 d x + ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 16 x - 2 2 d x = 3 ln ⁡ ( x - 1 ) + ln ⁡ ( x - 2 ) - 16 1 x - 2

Resposta

∫ 4 x 2 + x - 2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = 3 ln ⁡ ( x - 1 ) + ln ⁡ ( x - 2 ) - 16 x - 2 + c

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