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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 20

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

20 .   ∫ x 2 - 4 x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição trigonométrica. Fazendo a seguinte substituição:

x = 2 sec ⁡ θ ,     d x = 2 sec ⁡ θ   t g   θ   d θ

θ = arcsec ⁡ x 2

Mais um detalhe:

x 2 - 4 = ( 2 sec ⁡ θ ) 2 - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 4

= 2 sec 2 ⁡ θ - 1

Como sabemos:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1 ⇒ t g x = sec 2 ⁡ x - 1

Então:

x 2 - 4 = 2 t g θ

Passo 2

Fazendo as devidas substituições em nossa integral ficamos com:

∫ x 2 - 4 x 2 d x = ∫ 2 t g θ 2 sec ⁡ θ   t g θ   d θ 2 sec ⁡ θ 2

= ∫ 4 t g 2 θ sec ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ 4 t g 2 θ 4 sec ⁡ θ d θ = ∫ t g 2 θ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Para continuar a integral, precisamos lembrar que:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Aplicando isso a nossa integral:

∫ t g 2 θ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Continuando:

∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ ( sec ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ ) d θ

Pequena pausa para lembrar que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x ⇒ 1 sec ⁡ x = cos ⁡ x

Prosseguindo:

∫ ( sec ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ ) d θ = ∫ ( sec ⁡ θ - cos ⁡ θ )   d θ

= ∫ sec ⁡ θ   d θ - ∫ cos ⁡ θ   d θ

Agora usando nossa caixinha de integrais tabeladas que tecnicamente devemos saber:

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + t g   x )

Então nossa querida integral fica:

∫ sec ⁡ θ   d θ - ∫ cos ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + t g   θ - s e n θ = ln ⁡ ( sec ⁡ θ + t g   θ ) - s e n   θ + c

Passo 5

Chegamos a um resultado, mas esse não é o resultado final devido a substituição. Então vamos pegar a substituição que fizemos e revertê-la:

x = 2 sec ⁡ θ ⇒ sec ⁡ θ = x 2

x 2 - 4 = 2 t g θ ⇒ t g θ = x 2 - 4 2

t g θ = x 2 - 4 2 ⇒ s e n θ cos ⁡ θ = x 2 - 4 2 ⇒ s e n θ ⋅ sec ⁡ θ = x 2 - 4 2

⇒ s e n θ = x 2 - 4 2 sec ⁡ θ = x 2 - 4 x

Aplicando tudo isso ao resultado temos:

ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 - x 2 - 4 x + c

Resposta

∫ x 2 - 4 x 2 d x = ln ⁡ x 2 + x 2 - 4 2 - x 2 - 4 x + c

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