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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 33

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

3 3 . ∫ c o s s e c 5 x d x

Passo 1

Para começarmos a resolver essa integral vamos abrir ela um pouco, desse jeito:

∫ c o s s e c 5 x d x = ∫ c o s s e c 3 x ⋅ c o s s e c 2 x   d x

Para conseguir resolver essa integral precisamos lembrar de algumas coisas como:

c o t g 2 x = c o s s e c 2   x - 1

c o s s e c 3 x ' = 3 c o s s e c 2 x ⋅ c o s s e c   x ' = 3 c o s s e c 2 x ⋅ - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x

= - 3 c o s s e c 3 x ⋅ c o t g   x

∫ c o s s e c   x   d x = l n c o s s e c   x - c o t g   x + c

∫ c o s s e c 2   x   d x = - c o t g   x + c

Passo 2

Agora vamos fazer a integral por partes e com o auxílio das propriedades definidas no passo 1.

Onde:

∫ f   g ' d x = f ⋅ g - ∫ f ' g   d x

f = c o s s e c 3 x             d g = c o s s e c 2 x  

d f = - 3 c o s s e c 3 x ⋅ c o t g   x             g = - c o t g   x

Passo 3

Continuando então:

∫ c o s s e c 3 x   c o s s e c 2 x   d x = c o s s e c 3 x   - c o t g   x - ∫ c o t g   x ⋅ 3 c o s s e c 3 x ⋅ c o t g   x d x

∫ c o s s e c 5 x d x = - c o s s e c 3 x   c o t g   x - ∫ 3 c o s s e c 3 x   c o t g 2 x   d x

= - c o s s e c 3 x   c o t g   x - ∫ 3 c o s s e c 3 x   ( c o s s e c 2 x - 1 ) d x

= - c o s s e c 3 x   c o t g   x - 3 ∫ c o s s e c 5 x   d x + 3 ∫ c o s s e c 3 x   d x

∫ c o s s e c 5 x d x = - c o s s e c 3 x   c o t g   x - 3 ∫ c o s s e c 5 x   d x + 3 ∫ c o s s e c 3 x   d x

⇒ ∫ c o s s e c 5 x d x + 3 ∫ c o s s e c 5 x d x = - c o s s e c 3 x   c o t g   x + 3 ∫ c o s s e c 3 x   d x

⇒ 4 ∫ c o s s e c 5 x d x = - c o s s e c 3 x   c o t g   x + 3 ∫ c o s s e c 3 x   d x

Passo 4

Agora vamos resolver separadamente a seguinte integral:

∫ c o s s e c 3 x   d x

Podemos separar ela de uma forma que nos ajude a usar integral por partes.

∫ c o s s e c 3 x   d x = ∫ c o s s e c 2 x ⋅ c o s s e c   x   d x

Integrando por partes:

∫ f   g ' d x = f ⋅ g - ∫ f ' g   d x

f = c o s s e c   x             d g = c o s s e c 2 x  

d f = - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x             g = - c o t g   x

Ficamos com:

∫ c o s s e c 3 x   d x = - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x - ∫ - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x ⋅ - c o t g   x d x

= - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x - ∫ c o s s e c   x ⋅ c o t g 2   x   d x

= - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x - ∫ c o s s e c   x ⋅ c o s s e c 2 x - 1 d x

= - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x - ∫ c o s s e c 3 x   d x + ∫ c o s s e c   x   d x

Das fórmulas do passo 1, sabemos que:

∫ c o s s e c   x   d x = l n c o s s e c   x - c o t g   x + c

Logo:

∫ c o s s e c 3 x   d x = - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x - ∫ c o s s e c 3 x   d x + l n c o s s e c   x - c o t g   x

⇒ ∫ c o s s e c 3 x   d x + ∫ c o s s e c 3 x   d x = - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x + l n c o s s e c   x - c o t g   x

⇒ 2 ∫ c o s s e c 3 x   d x = - c o s s e c   x ⋅ c o t g   x + l n c o s s e c   x - c o t g   x

⇒ ∫ c o s s e c 3 x   d x = - 1 2 c o s s e c   x ⋅ c o t g   x + 1 2 l n c o s s e c   x - c o t g   x

Passo 5

Agora aplicando esse resultado na fórmula que tínhamos encontrado no passo 3, temos:

4 ∫ c o s s e c 5 x   d x = - c o s s e c 3 x   c o t g   x + 3 ∫ c o s s e c 3 x   d x

⇒ 4 ∫ c o s s e c 5 x   d x = - c o s s e c 3 x   c o t g x + 3 ( - 1 2 c o s s e c x ⋅ c o t g x + 1 2 l n c o s s e c x - c o t g x )

⇒ 4 ∫ c o s s e c 5 x   d x = - c o s s e c 3 x   c o t g x - 3 2 c o s s e c x ⋅ c o t g x + 3 2 l n c o s s e c x - c o t g x )

⇒ ∫ c o s s e c 5 x   d x = - 1 4 c o s s e c 3 x   c o t g x - 3 8 c o s s e c x ⋅ c o t g x + 3 8 l n c o s s e c x - c o t g x )

Resposta

∫ c o s s e c 5 x   d x = - 1 4 c o s s e c 3 x   c o t g x - 3 8 c o s s e c x ⋅ c o t g x + 3 8 l n c o s s e c x - c o t g x ) + c

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