Calcule a integral.

∫ x 3 e x 2 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x 3 e x 2 d x

Que, por conveniência, vamos escrever da forma:

∫ x 2 x e x 2 d x

E supondo:

u = x 2   e   d v = x e x 2 d x

Conseguimos encontrar:

d u = 2 x d x

E:

v = ∫ x e x 2 d x

Porém, como essa integral não pode ser resolvida diretamente, precisamos encontrar uma forma de resolvê-la. Então, usando o método da substituição simples com:

u = x 2 → d u = 2 x d x

Podemos fazer:

v = ∫ e u d u 2

Que, calculando e substituindo a variável original, resulta em:

v = 1 2 e x 2

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ x 3 e x 2 d x = x 2 1 2 e x 2 - ∫ 1 2 e x 2 2 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 x 2 e x 2 - ∫ x e x 2 d x

Passo 4

Aplicando o método da substituição simples para a integral do lado direito da equação, com:

u = x 2 → d u = 2 x d x

Conseguimos fazer:

∫ x e x 2 d x = ∫ e u d u 2

Então:

∫ x e x 2 d x = 1 2 e u

Substituindo a variável de origem:

∫ x e x 2 d x = 1 2 e x 2

Passo 5

Finalmente, a integral do exercício será dada por:

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 x 2 e x 2 - 1 2 e x 2 + C

E, tirando o fator comum:

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 e x 2 x 2 - 1 + C

Resposta

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 e x 2 x 2 - 1 + C

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