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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 28

Nos Exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

28 . ∫ d u u 5 8     - u 1 8

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma substituição simples para darmos início:

v = u 1 / 8 ⇒ v 8 = u

Então:

d u = 8 v 7   d v

Passo 2

Nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ d u u 5 8     - u 1 8 = ∫ 8 v 7 d v v 5 - v

= ∫ 8 v 6 d v v 4 - 1 = ∫ 8 v 2 + 8 v 2 v 4 - 1 d v

= ∫ 8 v 2   d v + ∫ 8 v 2 v 4 - 1   d v

Passo 3

Para continuar a solução vamos resolver cada integral separadamente e depois somar os resultados.

1º:

∫ 8 v 2   d v = 8 ∫ v 2   d v

                                      = 8 v 3 3

Passo 4

2º:

∫ 8 v 2 v 4 - 1   d v

Para resolver essa integral vamos abri-la em frações parciais.

8 v 2 v 4 - 1 = A v 2 + 1 + B v 2 - 1

= A v 2 - 1 + B ( v 2 + 1 ) ( v 2 + 1 ) ( v 2 - 1 )

= A v 2 - A + B v 2 + B v 2 + 1 v 2 - 1

= A + B v 2 + B - A v 2 + 1 v 2 - 1

Assim temos:

A + B = 8

A = B = 4

B - A = 0

Logo:

∫ 8 v 2 v 4 - 1   d v = ∫ 4 v 2 + 1 + 4 v 2 - 1 d v = ∫ 4 v 2 + 1   d v + ∫ 4 v 2 - 1   d v

Passo 5

Para resolver essas duas integrais temos que nos atentar a duas coisas

1 - ∫ d x x 2 + 1 = a r c t g x + c  

Então:

∫ 4 v 2 + 1   d v = 4 a r c t g ( v )

2- Para resolver

∫ 4 v 2 - 1   d v

Precisamos abrir em frações parciais, da seguinte maneira:

4 v 2 - 1 = A v + 1 + B v - 1

= A v - 1 + B ( v + 1 ) ( v + 1 ) ( v - 1 )

A + B v + B - A v + 1 v - 1

Assim temos:

A + B = 0

A = - 2 ,     B = 2

B - A = 4

Logo:

∫ 4 v 2 - 1   d v = ∫ - 2 v + 1 + 2 v - 1 d v = - ∫ 2 v + 1   d v + ∫ 2 v - 1   d v

= - 2 ln ⁡ v + 1 + 2 l n ⁡ ( v - 1 )

Passo 6

Então ficamos com:

∫ 8 v 2 v 4 - 1   d v = 4 a r c t g ( v ) - 2 ln ⁡ v + 1 + 2 l n ⁡ ( v - 1 )

Passo 7

Somando tudo o que encontramos temos:

∫ 8 v 7 d v v 5 - v = 8 v 3 3 + 4 a r c t g ( v ) - 2 ln ⁡ v + 1 + 2 l n ⁡ ( v - 1 )

Passo 8

Chegamos a um resultado, mas esse não é o resultado final devido a substituição. Então vamos pegar a substituição que fizemos e revertê-la:

v = u 1 / 8

8 u 3 / 8 3 + 4 a r c t g ( u 1 / 8 ) - 2 ln ⁡ u 1 / 8 + 1 + 2 l n ⁡ ( u 1 / 8 - 1 )

Resposta

∫ d u u 5 8     - u 1 8 = 8 u 3 8 3 + 4 a r c t g u 1 8 - 2 ln ⁡ u 1 8 + 1 + 2 ln ⁡ u 1 8 - 1

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