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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 48

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

48 .   ∫ d x x 5 x - 6 - x 2

Passo 1

Antes de começar vamos lembrar uma regra trigonométrica muito importante para o nosso exercício.

s e n   x = 2   t g   x 2 1 + t g 2 x 2

Agora, para começar, vamos completar quadrado dentro da nossa raiz de modo que:

5 x - 6 - x 2 = 1 4 - x - 5 2 2

Nossa integral então vai ficar:

∫ d x x 5 x - 6 - x 2 = ∫ d x x 1 4 - x - 5 2 2

Passo 2

Agra vamos fazer uma substituição simples para ajudar na integração:

u = x - 5 2 ⇒ x = u + 5 2 ⇒ d u = d x

Nossa integral agora é:

  ∫ d u u + 5 2 1 4 - u 2

Passo 3

Mas repare bem no termo 1 1 4 - u 2   é bem parecido com 1 a 2 - x 2 né? Então vamos usar aqui a substituição trigonométrica:

u = a s e n   θ = 1 2 s e n   θ ⇒ d u = 1 2 c o s θ   d θ

Vamos substituir, então nossa integral vira:

∫ 1 1 2 s e n   θ + 5 2 1 4 - 1 2 s e n   θ 2   ⋅ 1 2 c o s θ   d θ =   ∫ 1 1 2 s e n   θ + 5 2 1 4 - s e n 2 θ 4   ⋅ 1 2 c o s θ   d θ

= ∫ 1 1 2 s e n   θ + 5 2 c o s 2 θ 4   ⋅ 1 2 c o s θ   d θ

= ∫ 1 1 2 s e n   θ + 5 2 c o s θ 2 ⋅ 1 2 c o s θ   d θ

= ∫ 1 1 2 s e n   θ + 5 2 d θ

= ∫ 2 s e n   θ + 5 d θ

Passo 4

Lembram da substituição que falamos lá início? Então vamos usar aqui.

∫ 2 2   t g   θ 2 1 + t g 2 θ 2 + 5 d θ =   ∫ 2 2   t g   θ 2 + 5 1 + t g 2 θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 d θ

= ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 d θ 2   t g   θ 2 + 5 1 + t g 2 θ 2

Vamos fazer uma substituição no t g   θ 2 a fim de tornar nossa integral visivelmente mais tranquila:

p = t g   θ 2 ⇒ d p = 1 2 sec 2 ⁡ θ 2   d θ

∫ 4   d p 2 p + 5 1 + p 2 = 4 ∫ 1 5 p 2 + 2 p + 5 d p

Passo 5

Vamos completar quadrados e assim a nossa integral ficará:

4 ∫ 1 5 p 2 + 2 p + 5 d p = 4 ∫ 1 5 p + 1 5 2 + 24 5 d p

Usaremos substituição simples de modo que:

s = 5 p + 1 5 ⇒ d s = 5 d p

4 5 ∫ 1 s 2 + 24 5 d s = 4 5 ∫ 1 5 s 2 + 24 5 d s

  = 4 5 ∫ 5 5 s 2 + 24 d s

= 4 5 ∫ 1 s 2 + 24 5 d s

Vamos dividir a função dentro da nossa integral em cima e em baixo por 24 5 :

4 5 ∫ 5 24 5 s 24 2 + 1 d s =   4 5 ⋅ 5 24 ∫ 1 5 s 24 2 + 1 d s

= 5 5 5 ⋅ 6 ∫ 1 5 s 24 2 + 1 d s

= 5 6 ∫ 1 5 s 24 2 + 1 d s

Passo 6

Agora teremos que fazer mais uma substituição que vai deixar melhor para integrarmos.

w = 5 2 6   s

d w = 5 2 6 d s ⇒ 2 6 5 d w = d s

Nossa integral fica como:

5 6 ∫ 1 5 s 24 2 + 1 d s = 5 6 ⋅ 2 6 5 ∫ 1 w 2 + 1 d s

= 6 3 ∫ 1 w 2 + 1 d s

Passo 7

Agora precisamos lembrar de uma coisa muito importante que é:

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

Assim nossa integral tem como solução:

6 3 ∫ 1 w 2 + 1 d s = 6 3 a r c t g   w

Passo 8

Agora para encontrar o resultado final temos que retroceder nas substituições feitas.

w = 5 2 6   s

6 3 a r c t g   w = 6 3 a r c t g   5 2 6   s

s = 5 p + 1 5

6 3 a r c t g 5 2 6   s = 6 3 a r c t g 5 2 6   5 p + 1 5 = 6 3 a r c t g 5 p + 1 2 6

p = t g   θ 2

6 3 a r c t g 5 p + 1 2 6 = 6 3 a r c t g 5 t g   θ 2 + 1 2 6

Bem para continuarmos a substituição, teremos que ver algumas coisas antes, para isso vamos fazer um passo só para entender.

Passo 9

Temos que:

u = 1 2 s e n   θ ⇒ s e n   θ = 2 u

Mas sabemos que sen é cateto oposto sobre hipotenusa, então temos que:

c . o = 2 u     e     h = 1

Para saber quanto vale o cos precisamos saber quem é o cateto adjacente, mas sabemos que:

c . o 2 + c . a 2 = h 2 ⇒ c . a 2 = 1 - 4 u 2 ⇒ c . a = 1 - 4 u 2

Assim:

c o s θ = c . a h ⇒ 1 - 4 u 2

Agora que sabemos quanto vale sen e cos, vamos pensar em t g θ 2 , para isso vamos usar uma propriedade trigonométrica que é:

t g x 2 = s e n   x cos ⁡ x + 1

Usando isso para o que temos ficamos com:

t g θ 2 = s e n   θ cos ⁡ θ + 1 = 2 u 1 - 4 u 2 ⁡ + 1

Agora podemos prosseguir com o que tínhamos antes.

Passo 10

Continuando de onde paramos no passo 8:

6 3 a r c t g 5 t g   θ 2 + 1 2 6 = 6 3 a r c t g 5 2 u 1 - 4 u 2 ⁡ + 1 + 1 2 6

= 6 3 a r c t g 10 u 1 - 4 u 2 ⁡ + 1 + 1 2 6

= 6 3 a r c t g 1 - 4 u 2 + 10 u + 1 1 - 4 u 2 ⁡ + 1 2 6 = 6 3 a r c t g 1 - 4 u 2 + 10 u + 1 2 6 ( 1 - 4 u 2 ⁡ + 1 )

Agora:

u = x - 5 2

6 3 a r c t g 1 - 4 u 2 + 10 u + 1 2 6 ( 1 - 4 u 2 ⁡ + 1 ) = 6 3 a r c t g 1 - 4 x - 5 2 2 + 10 x - 5 2 + 1 2 6 ( 1 - 4 x - 5 2 2 ⁡ + 1 )

= 6 3 a r c t g - x 2 + 5 x - 6 + 5 x - 12 6 ( 2 - x 2 + 5 x - 6 + 1 )

Resposta

∫ d x x 5 x - 6 - x 2 = 6 3 a r c t g - x 2 + 5 x - 6 + 5 x - 12 6 ( 2 - x 2 + 5 x - 6 + 1 ) + c

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Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f td t onde f t = 0 s et ≤ 0 1 s e0t ≤ 1 1 t s et1
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