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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 40

Prove int cot x csc^n x d x = - (csc^n x)/(n) + C , s e n != 0 .

Passo 1

Para provar que int cot x csc^n x d x = - (csc^n x)/(n) + C vamos aplicar a diferenciação nos dos dois lados da igualdade e aplicar as devidas propriedades de diferenciação para chegarmos numa igualdade verdadeira.

(d)/(d x) (int cot x csc^n x d x) = (d)/(d x) (- (csc^n x)/(n) + C)

cot x csc^n x = - (n csc^(n - 1) x)/(n) * (d)/(d x) (csc x)

cot x csc^n x = - csc^(n - 1) x * (d)/(d x) (csc x)

cot x csc^n x = - csc^(n - 1) x * (d)/(d x) ((1)/(sin x))

Passo 2

Aplicando a Regra do Produto em (d)/(d x) ((1)/(sin x)) temos

cot x csc^n x = - csc^(n - 1) x * ((d)/(d x) (1) sin x - (d)/(d x) (sin x) 1)/((sin x)^2)

cot x csc^n x = - csc^(n - 1) x * ((0) sin x - cos x)/((sin x)^2)

cot x csc^n x = - csc^n x * csc^(- 1) x * ((- cos x))/((sin x) (sin x))

cot x csc^n x = csc^n x * (cot x)/((csc x) (sin x))

cot x csc^n x = cot x csc^n x

Resposta

int cot x csc^n x d x = - (csc^n x)/(n) + C é verdadeiro, pois quando aplicamos a diferenciação em ambos os lados temos uma igualdade verdadeira que confirma essa expressão.

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