Prove ∫ cot ⁡ x csc n ⁡ x d x = - csc n ⁡ x n + C ,   s e   n ≠ 0 .

Passo 1

Para provar que ∫ cot ⁡ x csc n ⁡ x d x = - csc n ⁡ x n + C vamos aplicar a diferenciação nos dos dois lados da igualdade e aplicar as devidas propriedades de diferenciação para chegarmos numa igualdade verdadeira.

d d x ∫ cot ⁡ x csc n ⁡ x d x = d d x - csc n ⁡ x n + C

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - n csc n - 1 ⁡ x n ∙ d d x csc ⁡ x

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - csc n - 1 ⁡ x ∙ d d x csc ⁡ x

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - csc n - 1 ⁡ x ∙ d d x 1 sin ⁡ x

Passo 2

Aplicando a Regra do Produto em d d x 1 sin ⁡ x temos

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - csc n - 1 ⁡ x ∙ d d x 1 sin ⁡ x - d d x sin ⁡ x 1 sin ⁡ x 2

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - csc n - 1 ⁡ x ∙ 0 sin ⁡ x - cos ⁡ x sin ⁡ x 2

cot ⁡ x csc n ⁡ x = - csc n ⁡ x ∙ csc - 1 ⁡ x ∙ - cos ⁡ x sin ⁡ x sin ⁡ x

cot ⁡ x csc n ⁡ x = csc n ⁡ x ∙ cot ⁡ x csc ⁡ x sin ⁡ x

cot ⁡ x csc n ⁡ x = cot ⁡ x csc n ⁡ x

Resposta

∫ cot ⁡ x csc n ⁡ x d x = - csc n ⁡ x n + C   é verdadeiro, pois quando aplicamos a diferenciação em ambos os lados temos uma igualdade verdadeira que confirma essa expressão.

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