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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 9

Esboce o gráfico de

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t

onde

f (t) = {[[(1)/((t - 2)^2),s,e,,t,<=,1],[(1)/(t),s,e,,t,>,1]])

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em duas etapas, para x <= 1 e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x <= 1

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^x (1)/((t - 2)^2) d t

= underset(A -> - oo)(lim) int_A^x (1)/((t - 2)^2) d t

Fazendo a substituição

{[[u = t - 2],[d u = d t]])

E os limites

{[[u ( A ) = A - 2],[u (x) = x - 2]])

Então

underset(A -> - oo)(lim) int_A^x (1)/((t - 2)^2) d t = underset(A -> - oo)(lim) int_(A - 2)^(x - 2) u^(- 2) d u

= underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(u)]_(A - 2)^(x - 2) = underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(x - 2) + (1)/(A - 2)]

= - (1)/(x - 2)

Para o caso particular x = 1

int_(- oo)^1 (1)/((t - 2)^2) d t = - (1)/(1 - 2) = - (1)/(- 1) = 1

Se x > 1

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^1 (1)/((t - 2)^2) d t + int_1^x (1)/(t) d t

= 1 + [ln t]_1^x = 1 + ln x - ln 1

= 1 + ln x

Podemos então definir a função como

F (x) = {[[-,(1)/(x - 2),s,e,,x,<=,1],[1,+,ln x,s,e,,x,>,1]])

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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1-38 Calcule a integral31- ∫ - 1 1 ln ⁡( x + 2 )d x
39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.41- para calcular ∫ ln ⁡ e xd x usando a integração por partes, escolha d v = e x d x .