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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 25

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

25 . ∫ x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 d x  

Passo 1

Para começarmos a destrinchar essa integral, vamos fazer uma substituição que vai facilitar a vida.

u = x 2

d u = 2 x d x ⇒ d u 2 = x d x

Para aplicar essa substituição precisamos dar uma mexidinha na integral, assim:

∫ x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 d x = ∫ x 2 cos ⁡ x 2 ⋅ ( x ) d x

Passo 2

Aplicando então a substituição, nossa integral fica:

∫ x 2 cos ⁡ x 2 ⋅ x d x = 1 2 ∫ u ⋅ cos ⁡ u   d u

Passo 3

Para continuar resolvendo a integral teremos que usar o método de integrar por partes.

Para integrar partes usamos o seguinte esquema:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = u ,             d g = cos ⁡ u d u

d f = d u                 g = s e n   u

Passo 4

Nossa integral fica da seguinte maneira:

1 2 ∫ u ⋅ cos ⁡ u   d u = 1 2 u ⋅ s e n   u - ∫ s e n   u   d u

= u ⋅ s e n   u 2 - - cos ⁡ u 2 ⁡ = u ⋅ s e n   u 2 + 1 2 cos ⁡ u

Passo 5

Voltando para variável original, ficamos com:

u ⋅ s e n   u 2 + 1 2 cos ⁡ u = x 2 s e n   x 2 + cos ⁡ x 2 2

Resposta

∫ x 3 ⋅ cos ⁡ x 2 d x = x 2 s e n   x 2 + cos ⁡ x 2 2 + c

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