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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 31

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

31 . ∫ s e n 5 n x d x

Passo 1

Para resolvermos essa integral vamos aplicar uma substituição que vai nos facilitar:

u = n x

d u = n d x ⇒ d u n = d x

Passo 2

Aplicando a substituição em nossa integral, ficamos com:

1 n ∫ s e n 5 u d u = 1 n ∫ s e n 4 u s e n u d u

= 1 n ∫ s e n 2   u 2 s e n u d u

Passo 3

Agora vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que vai nos ajudar agora.

s e n 2 u = 1 - cos 2 ⁡ u

Aplicando a identidade, ficamos com:

1 n ∫ 1 - cos 2 ⁡ ( u ) 2 s e n u d u

Passo 4

Agora para continuarmos a resolver, vamos aplicar outra substituição.

s = cos ⁡ u

d s = - s e n   u   d u ⇒ - d s = s e n   u   d u

Passo 5

Aplicando a substituição em nossa integral, ficamos com:

1 n ∫ - 1 - s 2 2   d s = - 1 n ∫ ( 1 - 2 s 2 + s 4 ) d s

= - 1 n ∫ d s - ∫ 2 s 2   d s + ∫ s 4   d s

= - 1 n s - 2 3 s 3 + s 5 5

= - s n + 2 s 3 3 n - s 5 5 n

Passo 6

Agora revertendo as substituições feitas, para obter o resultado na variável que desejamos.

s = cos ⁡ u

- s n + 2 s 3 3 n - s 5 5 n = - cos ⁡ u n + 2 cos 3 ⁡ u 3 n - cos 5 ⁡ u 5 n

u = n x

- cos ⁡ u n + 2 cos 3 ⁡ u 3 n - cos 5 ⁡ u 5 n = - cos ⁡ n x n + 2 cos 3 ⁡ n x 3 n - cos 5 ⁡ n x 5 n

Resposta

∫ s e n 5 n x d x = - cos ⁡ n x n + 2 cos 3 ⁡ n x 3 n - cos 5 ⁡ n x 5 n + c

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