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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 22

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

22. ∫ t ⋅ s e n 2 2 t   d t

Passo 1

Para começar a resolver essa integral precisamos ter em mente a seguinte propriedade:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

E lembrar como fazemos integrais por parte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Passo 2

Nossa integral toma a seguinte forma:

∫ t ⋅ s e n 2 2 t   d t = ∫ t ⋅ ( 1 - cos ⁡ 4 t ) 2   d t

= ∫ t 2 - t ⋅ cos ⁡ 4 t   2 d t

= ∫ t 2 d t - ∫ t ⋅ cos ⁡ 4 t   2 d t

= 1 2 t 2 2 - 1 2 ∫ t ⋅ cos ⁡ 4 t   d t = t 2 4 - 1 2 ∫ t ⋅ cos ⁡ 4 t   d t

Passo 3

Para resolver a integral do segundo termo precisamos integrar por partes onde:

f = t ,             d g = cos ⁡ 4 t

d f = d t                 g = s e n   4 t 4

Assim:

1 2 ∫ t ⋅ cos ⁡ 4 t   d t = 1 2 t ⋅ s e n   4 t 4 - 1 2 ∫ s e n   4 t 4   d t

= t s e n   4 t 8 - 1 8 - cos ⁡ 4 t 4 = t s e n   4 t 8 + cos ⁡ 4 t 32 + c

Passo 4

Jogando esses resultados na integral do passo 2, ficamos com:

∫ t ⋅ s e n 2 2 t   d t = t 2 4 - 1 2 ∫ t ⋅ cos ⁡ 4 t   d t = t 2 4 - t s e n   4 t 8 + cos ⁡ 4 t 32

Resposta

∫ t ⋅ s e n 2 2 t   d t = t 2 4 - t s e n   4 t 8 - cos ⁡ 4 t 32 + c

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