Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 2
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
E aí, gente boa? Tranquilo?
Bom, a questão pede a convergência ou divergência de uma série cuja termo ainda não conhecemos, somente os termos de sua soma. Se olharmos bem para a sequência de somas vemos que temos termos positivos e negativos alternados, o que nos indica que podemos ter uma série alternada, algo que vai ter uma cara assim:
Então, será interessante começarmos definindo já no nosso próximo passo. Agora para achar o comportamento da série alternada é só aplicarmos o Teste da Série Alternada:
Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo que ele pode ser de uma das duas formas abaixo:
Onde .
Passo 2
No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de . O numerador são os números inteiros, ou seja, é igual a . Já os denominadores, se você reparar, são os numeradores mais 2. Então teremos:
Agora basta ver qual o padrão do sinal e pra isso olhamos pro primeiro termo. Aqui o primeiro termo é negativo e a série começa em , então o nosso padrão é:
Passo 3
Para essa série, podemos ver de cara que , então basta que calculemos este limite, para provar que a série desobedece a regra 2 do teste da série alternada.
Colocando em evidência:
Como a série já não cumpre um dos dois requisitos do Teste da Série alternada, a série diverge.
Resposta
Diverge.