Teste a série quanto a convergência ou divergência.

4/7 - 4/8 + 4/9 - 4/10 + 4/11 - ...

Passo 1

E aí, gente boa? Tranquilo?

Bom, a questão pede a convergência ou divergência de uma série cuja termo ∑ a n ainda não conhecemos, somente os termos de sua soma. Se olharmos bem para a sequência de somas vemos que temos termos positivos e negativos alternados, o que nos indica que podemos ter uma série alternada, algo que vai ter uma cara assim:

a n = - 1 n b n

Então, será interessante começarmos definindo b n já no nosso próximo passo. Agora para achar o comportamento da série alternada é só aplicarmos o Teste da Série Alternada:

Se a série alternada: ∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

Onde b n > 0 , atender às nossas duas condições:

  1. b n + 1 ≤ b n para todo n  
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Então a série é convergente.

Passo 2

Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo ele da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de b n é

b n = 4 n ,   ∀ n ≥ 7

Agora basta ver qual o padrão do sinal, neste caso o primeiro termo é positivo e a série começa em n = 7 , então o nosso padrão é

a n = - 1 n + 1 4 n

Passo 3

Agora vamos ver se a série obedece às duas regras do teste da série alternada.

Para a primeira regra b n + 1 < b n , temos que analisar se a série é decrescente:

4 n + 1 < 4 n

De fato, isso é verdade, já que temos um mesmo numerador, e a fração da esquerda tem um denominador maior, essa fração vale menos.

Passo 4

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 4 n = 0

Como a série obedece às duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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