Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 3
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
E aí, gente boa? Tranquilo?
Bom, a questão pede a convergência ou divergência de uma série cuja termo ainda não conhecemos, somente os termos de sua soma. Se olharmos bem para a sequência de somas vemos que temos termos positivos e negativos alternados, o que nos indica que podemos ter uma série alternada, algo que vai ter uma cara assim:
Então, será interessante começarmos definindo já no nosso próximo passo. Agora para achar o comportamento da série alternada é só aplicarmos o Teste da Série Alternada:
Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Passo 2
Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo ele da forma
Ou
Onde .
No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de é
Agora basta ver qual o padrão do sinal, neste caso o primeiro termo é positivo e a série começa em , então o nosso padrão é
Passo 3
Agora vamos ver se a série obedece às duas regras do teste da série alternada.
Para a primeira regra , temos que analisar se a série é decrescente:
De fato, isso é verdade, já que temos um mesmo numerador, e a fração da esquerda tem um denominador maior, essa fração vale menos.
Passo 4
Para a segunda regra, basta calcular o limite de
Como a série obedece às duas regras do teste da série alternada, a série converge.
Resposta
Converge.