Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 27
Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.
27.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Primeiro vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Porque se a série é absolutamente convergente, então a série é convergente.
Mas se a série não for absolutamente convergente, em seguida, verificaremos se a série é convergente ou divergente.
Portanto, a série dada será absolutamente convergente quando a série seguinte for convergente.
Esta é uma série do tipo p, como , então, ela é uma série divergente, como nota, tenha em mente que esse termo pode ser absolutamente qualquer número real (qualquer mesmo!), o critério para ser divergente é que ele seja menor que 1, satisfez isso, é divergente 😊. Portanto, a série dada NÃO é absolutamente convergente
Passo 2
Agora, vamos analisar a seguinte série
Vamos analisar o termo dentro do somatório
Pelo teste da série alternada, nós temos que ver duas situações
Para provar que não é crescente, vamos começar pelo seguinte termo
Fazendo algumas manipulações, obtemos que
Com isso, temos que
Da desigualdade anterior, concluímos que un não é crescente. Vamos verificar o que acontece com un′ quando n se aproxima do infinito. Ou seja, quando n se aproxima do infinito, então n
vai para o infinito e 1n 1 vai para 0:
Resposta
Resposta nos passos