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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 17

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 1 n

que é positiva para todo n, vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = n - 1 2 ' =   - 1 2 n - 3 2 =   - 1 2 n 3

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 n = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a série não converge absolutamente porque

∑ n = 1 ∞ 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2  

que é uma p-série com p = 1 2 que diverge. Logo, a série converge condicionalmente

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge condicionalmente.

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Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ - 1 n s e nn n 2