Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dada por:

Veja que a sequência é positiva para todo n. Temos que é uma função limitada a , enquanto o denominador aumenta indefinidamente. Portanto a sequência é decrescente.

Assim, calculando o limite infinito de temos:

Como a sequência é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Para verificar se ela converge absolutamente vamos aplicar o teste da integral imprópria:

Aplicando a substituição,

E mudando os limites de integração, obtemos:

Como a integral converge, podemos dizer que a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!