Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dada por:

Tal sequência é positiva para todo n, vamos definir a função e encontrar sua derivada:

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de temos:

Como a sequência é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Por comparação, sabemos que:

Sabemos ainda que é uma p-série divergente e séries maiores que uma série divergente também divergem. Sendo assim, a série é condicionalmente convergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!