Enunciado

12. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n

Passo 1

Salve, salve, galera! Tudo bem?

Nosso enunciado pede para analisarmos se nossa série converge ou diverge:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n

Dando uma olhadinha nela, um termo chama atenção: - 1 n - 1 . Repare que quando n assume valores pares, nosso termo é negativo e quando assume valores ímpares o termo fica positivo. Então, a série alterna seu sinal de termo em termo. Bom, então podemos concluir que temos uma série Alternada.

A técnica que usamos para encontrar a convergência de uma série alternada é o Teste da Série Alternada: se a série alternada: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 b n

Onde b n > 0 , atender às nossas duas condições:

  1. b n + 1 ≤ b n para todo n  
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Então a série é convergente.

Em resumo, vamos precisar verificar as duas condições acima para nossa série.

Vamo que vamo!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente. Uma forma de encontrarmos isso é encontrando:

f ' x < 0

Vamos reescrever a n como uma função f ( x ) já que para achar a derivada precisamos de uma função contínua:

f x = e 1 x x

Realizando a derivada:

f ' x = - e 1 x . x - 2 . x - e 1 x x ² = - e 1 x x - 1 + 1 x 2 < 0

De fato a sequência é decrescente, o sinal de negativo ali enfatiza muito essa conclusão, não é mesmo?

Bem, se f x = e 1 x x decresce, b n = e 1 n n também decresce. Condição (i) cumprida.

Passo 3

Agora testando a segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ e 1 n n

Aqui temos dois termos que dependem de n . 1 n fica cada vez menor quando olhamos para o infinito e se aproxima de zero, fazendo e 1 n se aproximar de 1 (já que todo número elevado a zero é 1, né?) Olhando o denominador vemos que algo dividido por algo gigantesco resulta em zero, certo? Sendo assim:

lim n → ∞ ⁡ e 1 n n = 0

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n   é   c o n v e r g e n t e

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