Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 12
12. Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Salve, salve, galera! Tudo bem?
Nosso enunciado pede para analisarmos se nossa série converge ou diverge:
Dando uma olhadinha nela, um termo chama atenção: . Repare que quando assume valores pares, nosso termo é negativo e quando assume valores ímpares o termo fica positivo. Então, a série alterna seu sinal de termo em termo. Bom, então podemos concluir que temos uma série Alternada.
A técnica que usamos para encontrar a convergência de uma série alternada é o Teste da Série Alternada: se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Em resumo, vamos precisar verificar as duas condições acima para nossa série.
Vamo que vamo!
Passo 2
Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente. Uma forma de encontrarmos isso é encontrando:
Vamos reescrever como uma função já que para achar a derivada precisamos de uma função contínua:
Realizando a derivada:
De fato a sequência é decrescente, o sinal de negativo ali enfatiza muito essa conclusão, não é mesmo?
Bem, se decresce, também decresce. Condição (i) cumprida.
Passo 3
Agora testando a segunda condição:
Aqui temos dois termos que dependem de . fica cada vez menor quando olhamos para o infinito e se aproxima de zero, fazendo se aproximar de 1 (já que todo número elevado a zero é 1, né?) Olhando o denominador vemos que algo dividido por algo gigantesco resulta em zero, certo? Sendo assim:
Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.