Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 14
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Para testarmos se a série é convergente ou divergente, vamos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:
1. ;
2.
Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!
Passo 2
Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:
Pelo resultado da derivada já notamos que a sequência não passou nem pela primeira condição! Para ser decrescente a derivada tem que ser negativa para qualquer valor positivo de , que claramente não é o que ocorre, galera! Então, vamos usar outro teste para conferir se ela diverge ou converge: o teste da divergência!
Passo 3
Para o teste da divergência, temos que calcular o limite:
Se for um número diferente de , podemos afirmar que essa série diverge!
Quando , nosso termo vai tender a ou , mas isso não vai fazer diferença. A questão aqui é que , com , tende a , onde é um número ímpar.
Isso porque . Dessa forma, teremos um limite que é diferente de .
Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é divergente.