Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

1/4 - 1/6 + 1/8 - 1/10 + 1/12 - 1/14 + ...

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Determinando o termo geral da sequência, temos:

1 4 - 1 6 + 1 8 - 1 10 + 1 12 - 1 14 + … = ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 n  

a n = 1 2 n  

Note ainda que,

∑ n = 2 ∞ 1 2 n   =   1 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n    

Veja que esta se trata de uma p-série com p = 1 e portanto, divergente.

Porém, observe que a sequência a n é positiva para todo n. E ainda é uma sequência decrescente já que o numerador é constante e o denominador cresce.

Assim, calculando o limite infinito de a n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 2 n = 0

Como a sequência a n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Sendo assim, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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