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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 40

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 2 3 n 2 n + 1 !  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

a n = - 1 n n ! 2 3 n 2 n + 1 !  

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! 2 3 n + 1 2 n + 3 ! = - 1 n n ! 2 3 n 2 n + 1 ! ∙ - 3 n + 1 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 )  

a n + 1 =   a n ∙ - 3 n + 1 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 )  

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ a n ∙ - 3 n + 1 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) a n =   lim n →  ∞ ⁡ - 3 n + 1 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) =    

Simplificando os termos comuns, temos:

lim n →  ∞ ⁡ - 3 n + 1 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) =     lim n →  ∞ ⁡ 3 ( n + 1 ) 2 2 n + 3 = lim n →  ∞ ⁡ 3 n + 3 4 n + 6 = 3 4    

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Sendo assim, a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Absolutamente convergente.

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