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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 35

Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

∫ cos 2 ⁡ t s e n ( t ) d t

Passo 1

Inicialmente, vamos lembrar de uma relação lá da trigonometria:

cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ t - 1

Assim,

cos 2 ⁡ t = cos ⁡ 2 t + 1 2

Então vamos ver como fica nossa integral:

I = ∫ cos ⁡ 2 t + 1 2 ⁡ s e n t d t

Fazendo a distributiva:

I = 1 2 ∫ s e n t + s e n ( t cos ⁡ 2 t ) d t

Separando em dois termos:

I = 1 2 ∫ s e n t d t + 1 2 ∫ s e n t cos ⁡ 2 t d t

Passo 2

Para calcular ∫ s e n t cos ⁡ 2 t d t , vamos separar o termo que queremos integrar de produto em soma.

E = s e n t cos ⁡ 2 t

Lá da trigonometria:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Assim,

E = 1 2 s e n 3 t + s e n - t

Isto é,

E = 1 2 s e n 3 t - s e n t

Voltando para integral:

I = 1 2 ∫ s e n t d t + 1 2 ∫ 1 2 s e n 3 t - s e n t d t

Simplificando, temos:

I = 1 4 ∫ s e n t d t + 1 4 ∫ s e n 3 t d t

Não esquece: ∫ s e n a x   d x = - c o s ⁡ a x a + c

Passo 3

Agora vamos integrar!

I = 1 4 - cos ⁡ t + c 1 + 1 4 - cos ⁡ 3 t 3 + c 2

Fazendo a distributiva e juntando as constantes:

I = - 1 4 cos ⁡ t + cos ⁡ 3 t + k

Resposta

- 1 4 cos ⁡ t + cos ⁡ 3 t + k

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