Enunciado

Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

∫ cos 2 ⁡ t s e n ( t ) d t

Passo 1

Inicialmente, vamos lembrar de uma relação lá da trigonometria:

cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ t - 1

Assim,

cos 2 ⁡ t = cos ⁡ 2 t + 1 2

Então vamos ver como fica nossa integral:

I = ∫ cos ⁡ 2 t + 1 2 ⁡ s e n t d t

Fazendo a distributiva:

I = 1 2 ∫ s e n t + s e n ( t cos ⁡ 2 t ) d t

Separando em dois termos:

I = 1 2 ∫ s e n t d t + 1 2 ∫ s e n t cos ⁡ 2 t d t

Passo 2

Para calcular ∫ s e n t cos ⁡ 2 t d t , vamos separar o termo que queremos integrar de produto em soma.

E = s e n t cos ⁡ 2 t

Lá da trigonometria:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Assim,

E = 1 2 s e n 3 t + s e n - t

Isto é,

E = 1 2 s e n 3 t - s e n t

Voltando para integral:

I = 1 2 ∫ s e n t d t + 1 2 ∫ 1 2 s e n 3 t - s e n t d t

Simplificando, temos:

I = 1 4 ∫ s e n t d t + 1 4 ∫ s e n 3 t d t

Não esquece: ∫ s e n a x   d x = - c o s ⁡ a x a + c

Passo 3

Agora vamos integrar!

I = 1 4 - cos ⁡ t + c 1 + 1 4 - cos ⁡ 3 t 3 + c 2

Fazendo a distributiva e juntando as constantes:

I = - 1 4 cos ⁡ t + cos ⁡ 3 t + k

Resposta

- 1 4 cos ⁡ t + cos ⁡ 3 t + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

2.Calculeint_(- (3)/(2))^(- 1) (2 x + 3)^(100) d x
2.Calcule:int_0^((pi)/(3)) sin^4 x cos x d x
2.Calcule:int_0^1 (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x
2.Calcule:int_0^1 x e^(- x^2) d x
2.Calcule:int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x