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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 33

Ache o valor exato da quantidade dada.

s e n (a r c s e n (2)/(3) + arccos (1)/(3))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula das palmeiras:

s e n (a + b) = s e n a cos b + s e n b cos a

Assim, vamos ter que

s e n (a r c s e n (2)/(3) + arccos (1)/(3)) = s e n (a r c s e n (2)/(3)) cos (arccos (1)/(3)) + s e n (arccos (1)/(3)) cos (a r c s e n (2)/(3))

Desta forma, vamos ter que

s e n (a r c s e n (2)/(3) + arccos (1)/(3)) = (2)/(3) * (1)/(3) + s e n (arccos (1)/(3)) cos (a r c s e n (2)/(3))

Logo,

s e n (a r c s e n (2)/(3) + arccos (1)/(3)) = (2)/(9) + s e n (arccos (1)/(3)) cos (a r c s e n (2)/(3))

Passo 2

Para calcular s e n (arccos (1)/(3)) vamos fazer

x = arccos (1)/(3) => cos x = (1)/(3)

Assim, pela relação fundamental:

(1)/(9) + s e n^2 x = 1 => s e n^2 x = (8)/(9) => s e n x = (2 sqrt(2))/(3) => s e n (arccos (1)/(3)) = (2 sqrt(2))/(3)

Todos os arcos estão no primeiro quadrante, então nem vamos nos preocupar com os sinais...

Já para cos (a r c s e n (2)/(3)) , teremos

x = a r c s e n (2)/(3) => s e n x = (2)/(3)

Portanto,

(4)/(9) + cos^2 x = 1 => cos^2 x = (5)/(9) => cos x = (sqrt(5))/(3) => cos (a r c s e n (2)/(3)) = (sqrt(5))/(3)

Por fim,

s e n (a r c s e n (2)/(3) + arccos (1)/(3)) = (1)/(9) + (sqrt(5))/(3) * (2 sqrt(2))/(3) = (1 + 2 sqrt(10))/(9)

Resposta

(1 + 2 sqrt(10))/(9)

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