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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 34

Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

∫ s e n 2 x 2 - cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Nessa questão a ideia vai ser fazer uma substituição de variável. Como a derivada de cos ⁡ x é - s e n x podemos brincar dentro da raiz. Olha só:

u = 2 - cos ⁡ 2 x

Derivando,

d u = - - s e n 2 x ⋅ 2   d x

Logo,

1 2 d u = s e n 2 x   d x

Reescrevendo nossa integral, temos:

I = ∫ 2 - cos ⁡ 2 x s e n 2 x d x

Indo para variável u :

I = ∫ u 1 2 d u

Tirando a constante da integral e reescrevendo u :

I = 1 2 ∫ u 1 2   d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

I = 1 2 u 3 / 2 3 / 2 + k

Simplificando:

I = 1 3 u u + k

Voltando para variável x :

I = 1 3 2 - cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 2 x + k

Resposta

1 3 2 - cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 2 x + k

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