Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 21

Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! A primeira coisa que temos que achar, é a direção nas quais as funções aumentam e diminuem em relação a um . Para isso, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

Dessa forma, para a nossa função, temos:

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto . Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

E como levamos isso para achar a forma em que eles aumentam ou diminuem? Acharemos a direção das derivadas do nosso vetor, dado por . Dessa forma:

Aplicando:

Ou seja:

Passo 2

Agora temos a interpretação disso.

Isso significa que a nossa função cresce mais rapidamente na direção de , ou seja, o próprio:

Isso também significa que a nossa função diminui mais rapidamente na direção de , ou seja:

Que beleza, meus camaradas! Agora acharemos a derivada da função nessa direção! Temos:

E analogamente,

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma função z = f ( x , y ) tal que ∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ y e cujo gráfico contenha a imagem da curva γ t = t , t , t 2 , t ∈ R .

Determine uma função z = f ( x , y ) tal que ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y e cujo gráfico passe pelos pontos 1,1 , 3 , ( 0,0 , 1 ) e ( 0,1 , 2 ) .

Determine uma reta que seja tangente à elipse 2 x 2 + y 2 = 3 e paralela à reta 2 x + y = 5 .

Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada. ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ y = 0

Determine uma curva γ t = x t ,y t que passe pelo ponto γ 0 = ( 1,2 ) e que intercepte ortogonalmente as curvas da família x 2 + 2 y 2 = c .