Determine uma curva que passe pelo ponto e que intercepte ortogonalmente as curvas da família .
Passo 1
A questão pede para acharmos uma curva que passe pelo ponto e que intercepte ortogonalmente as curvas . Para isso, vamos considerar a função
Vamos calcular o gradiente de :
Já o vetor tangente à curva é dado por:
Passo 2
Como o gradiente de é perpendicular às curvas de nível da função e a curva que queremos achar deve ser ortogonal a essas mesmas curvas de nível, vamos impor:
Assim,
Caímos então em duas equações diferenciais:
Essas duas equações são simples e suas soluções são:
Passo 3
Agora vamos usar a condição que a curva deve passar pelo ponto . Vamos fazer
Assim,
Desta forma, tiramos que
Portanto,