Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 9
Determine uma curva que passe pelo ponto e que intercepte ortogonalmente as curvas da família .
Passo 1
A questão pede para acharmos uma curva que passe pelo ponto e que intercepte ortogonalmente as curvas . Para isso, vamos considerar a função
Vamos calcular o gradiente de :
Já o vetor tangente à curva é dado por:
Passo 2
Como o gradiente de é perpendicular às curvas de nível da função e a curva que queremos achar deve ser ortogonal a essas mesmas curvas de nível, vamos impor:
Assim,
Caímos então em duas equações diferenciais:
Essas duas equações são simples e suas soluções são:
Passo 3
Agora vamos usar a condição que a curva deve passar pelo ponto . Vamos fazer
Assim,
Desta forma, tiramos que
Portanto,
Resposta
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Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. g x ,y = x y 2 , 2 ,- 1
Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 + ln x y z , - 1 ,2 ,- 2
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = tg - 1 x y , 4 ,- 2
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = 2 x + 3 y , - 1 ,2