Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 7
Determine uma função tal que e cujo gráfico passe pelos pontos , e .
Passo 1
A questão pede para acharmos uma função tal que
e que passe pelos pontos , e .
O primeiro passo é achar quais tipos de função satisfazem a relação
A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:
Ou ainda,
Passo 2
Como o gradiente de é perpendicular às curvas de nível para todo no domínio de e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor , temos que, em todos os pontos, o vetor é tangente às curvas de nível.
Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é .
Desta forma, temos que
Como o vetor diretor é , o coeficiente angular dessas retas é
Portanto,
Passo 3
Temos então que as curvas de nível de são retas paralelas cujas equações são
Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo . Portanto, a função procurada é do tipo
onde é uma função derivável de uma variável.
Passo 4
Como queremos que a função passe por 3 pontos, o caso mais simples que podemos pensar é
De modo que
Substituindo os pontos , e :
Assim, da segunda equação já temos . Substituindo isso nas outras duas:
Portanto, da segunda equação tiramos
Substituindo na primeira:
Assim, uma das respostas possíveis para a função procurada é
Note que